PanMechanics 2025 Problem 18.4

Physics · mechanics

Problem

考虑两个质量分别为

m

和

M

的物体在光滑水平面上作一维运动运动并发生弹性碰撞。

m

和

M

的初速度分别为

u

和

U

，碰撞后的速度分别为

v

和

V

。已知

m < M

且

m

最初处于静止状态，而

M

在右侧以速度

U

向

m

移动。将向右的方向视为正方向，因此

U < 0

。初次碰撞后，

m

向左移动并在一定距离处撞到一墙壁，然后反弹回来再次向右移动。然后它可能再次撞到

M

并再反弹回来撞到墙壁。将

m

和

M

之间的初次碰撞称为第 0 次碰撞。我们假设所有碰撞都是弹性碰撞。设

m

和

M

在第

n

次碰撞之前的速度分别为

v_n

和

V_n

，因此

V_0 = U

和

v_0 = 0

。上述过程重复一定次数，直到系统达到不再发生碰撞的状态。 --- Question: 假设两物体之间以及

m

与墙壁之间的碰撞总次数为

N

。如果画出

N

与

\sqrt{M/m}

的关系图，那么当

M \gg m

时，这些点渐近位于一条直线上。求这条直线的斜率是多少？